Grundwissen Mathematikstudium – Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen

Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen

Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel

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Beschreibung

Dieses vierfarbige Lehrbuch wendet sich an Studierende der Mathematik in Bachelor- und Lehramts-Studiengängen. Es bietet in einem Band ein lebendiges Bild der mathematischen Inhalte, die üblicherweise im ersten Studienjahr behandelt werden (und etliches mehr). 

Mathematik-Studierende finden wichtige Begriffe, Sätze und Beweise ausführlich und mit vielen Beispielen erklärt und werden an grundlegende Konzepte und Methoden herangeführt.

Im Mittelpunkt stehen das Verständnis der mathematischen Zusammenhänge und des Aufbaus der Theorie sowie die Strukturen und Ideen wichtiger Sätze und Beweise. Es wird nicht nur ein in sich geschlossenes Theoriengebäude dargestellt, sondern auch verdeutlicht, wie es entsteht und wozu die Inhalte später benötigt werden.

Herausragende Merkmale sind:

- durchgängig vierfarbiges Layout mit mehr als 600 Abbildungen

- prägnant formulierte Kerngedanken bilden die Abschnittsüberschriften

- Selbsttests in kurzen Abständen ermöglichen Lernkontrollen während des Lesens

- farbige Merkkästen heben das Wichtigste hervor

- „Unter-der-Lupe“-Boxen zoomen in Beweise hinein, motivieren und erklären Details

- „Hintergrund-und-Ausblick“-Boxen  stellen Zusammenhänge zu anderen Gebieten und weiterführenden Themen her

- Zusammenfassungen zu jedem Kapitel sowie Übersichtsboxen

- mehr als 400 Verständnisfragen, Rechenaufgaben und Aufgaben zu Beweisen

- deutsch-englisches Symbol- und Begriffsglossar 

Der inhaltliche Schwerpunkt liegt auf den Themen der Vorlesungen Analysis 1 und 2 sowie  Linearer Algebra 1 und 2. Behandelt werden darüber hinaus Inhalte und Methodenkompetenzen, die vielerorts im ersten Studienjahr der Mathematikausbildung vermittelt werden.

Hinweise, Lösungswege und Ergebnisse zu allen Aufgaben des Buchs stehen als PDF-Dateien auf der Website des Verlags zur Verfügung.

Das Buch wird allen Studierenden der Mathematik vom Beginn des Studiums bis in höhere Semester hinein ein verlässlicher Begleiter sein.

Für die 2. Auflage ist es vollständig durchgesehen, an zahlreichen Stellen didaktisch weiter verbessert und um einige Themen ergänzt worden.

Stimme zur ersten Auflage:
„Besonders gut gefallen mir die Übersichtlichkeit und die Verständlichkeit, besonders aber die Sichtbarmachung der Verbindung von Analysis und linearer Algebra, die in den Erstsemestervorlesungen oft zu kurz kommt.” Sylvia Prinz, Institut für Mathematikdidaktik, Universität zu Köln

Die Autoren: 

PD Dr. Tilo Arens und PD Dr. Frank Hettlich sind beide als Dozenten an der Fakultät für Mathematik des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT) tätig.

Dr. Rolf Busam ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Mathematischen Institut der Universität Heidelberg, hält dort seit langen Jahren die Analysis-Vorlesungen und ist mitverantwortlich für die Lehrerausbildung.

Dr. Christian Karpfinger ist Professor an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern.

Dr. Dr. h.c. Hellmuth Stachel ist emeritierter Professor für Geometrie an der Technischen Universität Wien und kann auf eine mehr als 40-jährige Lehrtätigkeit verweisen.


PD Dr. Tilo Arens und PD Dr. Frank Hettlich sind beide als Dozenten an der Fakultät für Mathematik des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT) tätig.

Dr. Rolf Busam ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Mathematischen Institut der Universität Heidelberg, hält dort seit langen Jahren die Analysis-Vorlesungen und ist mitverantwortlich für die Lehrerausbildung.

Dr. Christian Karpfinger ist Professor an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern.

Dr. Dr. h.c. Hellmuth Stachel ist emeritierter Professor für Geometrie an der Technischen Universität Wien und kann auf eine mehr als 40-jährige Lehrtätigkeit verweisen.

Produktdetails

Einband gebundene Ausgabe
Erscheinungsdatum 21.05.2022
Verlag Springer Berlin
Seitenzahl 1288
Maße (L/B) 27,9/21 cm
Auflage 2. Auflage
Sprache Deutsch
ISBN 978-3-662-63312-0

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  • Vorwort.-
    1 Was ist Mathematik und was tun Mathematiker?-
    2 Logik, Mengen, Abbildungen − die Sprache der Mathematik.- 2.1 Junktoren und Quantoren.- 2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre.- 2.3 Abbildungen.- 2.4 Relationen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    3 Algebraische Strukturen − ein Blick hinter die Rechenregeln.- 3.1 Gruppen.- 3.2 Homomorphismen.- 3.3 Körper.- 3.4 Ringe.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    4 Zahlbereiche − Basis nicht nur der Analysis.- 4.1 Reelle Zahlen.- 4.2 Körperaxiome für die reellen Zahlen.- 4.3 Anordnungsaxiome für die reellen Zahlen.- 4.4 Ein Vollständigkeitsaxiom für die reellen Zahlen.- 4.5 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.- 4.6 Ganze Zahlen und rationale Zahlen.- 4.7 Komplexe Zahlen: Ihre Arithmetik und Geometrie.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    5 Lineare Gleichungssysteme −
    ein Tor zur 
    linearen Algebra.- 5.1 Erste Lösungsversuche.- 5.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan.- 5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur der Lösung.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    6 Vektorräume − von Basen und Dimensionen.- 6.1 Der Vektorraumbegriff.- 6.2 Beispiele von Vektorräumen.- 6.3 Untervektorräume.- 6.4 Basis und Dimension.- 6.5 Summe und Durchschnitt von Untervektorräumen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    7 Analytische Geometrie − Rechnen statt Zeichnen.- 7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum.- 7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum.- 7.3 Weitere Produkte von Vektoren im Anschauungsraum.- 7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.- 7.5 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    8 Folgen − der Weg ins Unendliche.- 8.1 Der Begriff einer Folge.- 8.2 Konvergenz.- 8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    9 Funktionen und Stetigkeit − ε trifft auf δ.- 9.1 Grundlegendes zu Funktionen.- 9.2 Beschränkte und monotone Funktionen.- 9.3 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit.- 9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte Mengen.- 9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    10 Reihen − Summieren bis zum Letzten.- 10.1 Motivation und Definition.- 10.2 Kriterien für Konvergenz.- 10.3 Absolute Konvergenz.- 10.4 Kriterien für absolute Konvergenz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    11 Potenzreihen − Alleskönner unter den Funktionen.- 11.1 Definition und Grundlagen.- 11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen.- 11.3 Die Exponentialfunktion.- 11.4 Trigonometrische Funktionen.- 11.5 Der Logarithmus.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    12 Lineare Abbildungen und Matrizen − Brücken zwischen Vektorräumen.- 12.1 Definition und Beispiele.- 12.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen.- 12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel.- 12.4 Darstellungsmatrizen.- 12.5 Das Produkt von Matrizen.- 12.6 Das Invertieren von Matrizen.- 12.7 Elementarmatrizen.- 12.8 Basistransformation.- 12.9 Der Dualraum.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- <13 Determinanten − Kenngrößen von Matrizen.- 13.1 Die Definition der Determinante.- 13.2 Determinanten von Endomorphismen.- 13.3 Berechnung der Determinante.- 13.4 Anwendungen der Determinante.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    14 Normalformen − Diagonalisieren und Triangulieren.- 14.1 Diagonalisierbarkeit.- 14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 14.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren.- 14.4 Algebraische und geometrische Vielfachheit.- 14.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen.- 14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen.- 14.7 Die Jordan-Normalform.- 14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform und Jordan-Basis.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    15 Differenzialrechnung − die Linearisierung von Funktionen.- 15.1 Die Ableitung.- 15.2 Differenziationsregeln.- 15.3 Der Mittelwertsatz.- 15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen.- 15.5 Taylorreihen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    16 Integrale − von lokal zu global.- 16.1 Integration von Treppenfunktionen.- 16.2 Das Lebesgue-Integral.- 16.3 Stammfunktionen.- 16.4 Integrationstechniken.- 16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen.- 16.6 Parameterabhängige Integrale.- 16.7 Weitere Integrationsbegriffe.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    17 Euklidische und unitäre Vektorräume − orthogonales Diagonalisieren.- 17.1 Euklidische Vektorräume.- 17.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität.- 17.3 Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente.- 17.4 Unitäre Vektorräume.- 17.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen.- 17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen.- 17.7 Normale Endomorphismen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    18 Quadriken − vielseitig nutzbare Punktmengen.- 18.1 Symmetrische Bilinearformen.- 18.2 Hermitesche Sesquilinearformen.- 18.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation.- 18.4 Die Singulärwertzerlegung.- 18.5 Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    19 Funktionenräume − Analysis und lineare Algebra Hand in Hand.- 19.1 Metrische Räume und ihre Topologie, normierte Räume.- 19.2 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Räumen.- 19.3 Kompaktheit.- 19.4 Zusammenhangsbegriffe.- 19.5 Vollständigkeit.- 19.6 Banach- und Hilberträume.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    20 Differenzialgleichungen − Funktionen sind gesucht.- 20.1 Begriffsbildungen.- 20.2 Elementare analytische Techniken.- 20.3 Existenz und Eindeutigkeit.- 20.4 Grundlegende numerische Verfahren.- Zusammenfassung.- Aufgaben .-
    21 Funktionen mehrerer Variablen − Differenzieren im Raum.- 21.1 Einführung.- 21.2 Differenzierbarkeitsbegriffe: Totale und partielle Differenzierbarkeit.- 21.3 Differenziationsregeln.- 21.4 Mittelwertsätze und Schranksätze.- 21.5 Höhere partielle Ableitungen und der der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz.- 21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema.- 21.7 Der Lokale Umkehrsatz.- 21.8 Der Satz über implizite Funktionen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    22 Gebietsintegrale − das Ausmessen von Mengen.- 22.1 Definition und Eigenschaften.- 22.2 Die Berechnung von Integralen.- 22.3 Die Transformationsformel.- 22.4 Wichtige Koordinatensysteme.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    23 Vektoranalysis − im Zentrum steht der Gauß'sche Satz.- 23.1 Kurven und Kurvenintegrale.- 23.2 Flächen und Flächenintegrale.- 23.3 Der Gauß’sche Satz.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    24 Optimierung − ein sehr generelles Problem.- 24.1 Lineare Optimierung.- 24.2 Das Simplex-Verfahren.- 24.3 Dualitätstheorie.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    25 Elementare Zahlentheorie − Teiler und Vielfache.- 25.1 Teilbarkeit.- 25.2 Der euklidische Algorithmus.- 25.3 Der Fundamentalsatz der Arithmetik.- 25.4 ggT und kgV.- 25.5 Zahlentheoretische Funktionen.- 25.6 Rechnen mit Kongruenzen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.-
    26 Elemente der diskreten Mathematik − die Kunst des Zählens.- 26.1 Einführung in die Graphentheorie.- 26.2 Einführung in die Kombinatorik.- 26.3 Erzeugende Funktionen.- Zusammenfassung.- Aufgaben.- Hinweise zu den Aufgaben.- Lösungen zu den Aufgaben.- Symbolglossar.- Index.